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「pythonによる制御工学入門」を読ませて頂きました。面白かったのでご紹介します。
pythonによる制御工学入門

pythonによる制御工学入門」を読ませて頂きました。面白かったのでご紹介します。

サポートページ =>『Pythonによる制御工学入門』サポートページ

期間:12日間程度(1日2~3時間)

特徴

内容

  • pythonの基礎
  • 制御モデル
    • 伝達関数モデル
    • 状態空間モデル
  • 制御対称のふるまい
    • 時間応答
    • 周波数応答
  • 制御系設計
    • PID制御
    • 2自由度制御
    • ゲインチューニング(限界感度法)
    • ゲインチューニング(モデルマッチング)
    • 状態フィードバック制御(極配置法)
    • 状態フィードバック制御(最適レギュレータ)
  • 安定性
    • 閉ループ
    • 開ループ
  • アドバンスドな制御系設計
    • オブザーバ
    • ロバスト制御

感想

私の事前知識:

古典制御の伝達関数やPID制御は授業で出てきたので何となくイメージ出来ていました(わかるとは言ってない)。現代制御は全くわかりませんでした。

pythonに関してはゆるふわで常用しています。

全体の感想

表題からわかるようにpythonですぐ動かせます。パラメータを弄って理解を深めたり、自分で設計するうえで真似すればに使えるため便利です。

実用や、制御を勉強するための入門として全体を俯瞰する目的で書かれていると思われます。そのため、後半は特にあっさりした説明になっています。

pythonの記法に関しては、(私は読み飛ばしましたがパッと見た感じ)必要な部分は書いてありそうです。pythonを使ったことのない方には多少大変かもしれません。

モジュールはNumpy,Matplotli,Scipy,Sympy,Python-control(, slycotもインストールする必要あり)。 Python-control (リンクは2019/12/25時点で最新バージョンのマニュアルへ)はMATLABっぽく書けるパッケージなので、MATLABを使ったことがある方に良いかもしれません。

モデル

最適レギュレータを下で紹介していますので、状態空間モデルに関して少し書きます。

伝達関数モデルではフィードバック系全体について、出力y(t)、入力u(t)に対してP(t)を

$$\frac{y}{u}=P(t)$$

の形で表します。それに対して状態空間モデルでは、内部の状態を全て観測して、

$$\dot{ \textbf{x}}(t)= \textbf{Ax}(t)+ \textbf{Bu}(t)$$ $$\textbf{y}(t)= \textbf{Cx}(t)+ \textbf{Du}(t)$$

の形で表します。例えば、このようなアームを考えてみます。

アームのモデル

トルクを$$\tau$$

粘性摩擦による力を$$\mu \dot{\theta}$$

重力加速度をgとすると、運動方程式は

$$\tau(t)=J\ddot{\theta}+\mu \dot{\theta}+Mglsin\theta$$

と書けます。入力u(t)、出力y(t)をそれぞれ

$$u(t)=\tau(t)$$

$$y(t)=\theta(t)$$

とし、角度 $\theta$ を十分小さいとして $sin(\theta)$ を

$$sin(y(t))=y(t)$$

と近似すると、

$$u(t)=J\ddot{y}(t)+\mu \dot{y}(t)+Mgly(t)$$

と書けます。これをもとに伝達関数が作れます。

さらに、状態空間モデルでは、

$$\textbf{x}(t)= \begin{bmatrix} \theta & \dot{\theta} \end{bmatrix}^T$$

と置いて

$$\dot{\textbf{x}}(t)= \begin{bmatrix} \dot{\theta} \cr \ddot{\theta} \end{bmatrix} =\begin{bmatrix} 0 & 1\cr -\frac{Mgl}{J} & -\frac{\mu}{J} \end{bmatrix}\textbf{x}(t) + \begin{bmatrix} 0 \cr \frac{1}{J} \end{bmatrix}u(t) $$

$$y(t)=\theta(t)=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} \textbf{x}(t) $$

となります。状態空間モデルの形にまとめると、

$$\dot{ \textbf{x}}(t)= \textbf{Ax}(t)+ \textbf{Bu}(t)$$ $$\textbf{y}(t)= \textbf{Cx}(t)+ \textbf{Du}(t)$$

$$\textbf{A}=\begin{bmatrix} 0 & 1\cr -\frac{Mgl}{J} & -\frac{\mu}{J} \end{bmatrix},\textbf{B}=\begin{bmatrix} 0 \cr \frac{1}{J} \end{bmatrix}, \textbf{C}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix},\textbf{D}=0$$

のように表せます。

ただし、状態空間モデルでは各パラメータが観測出来る必要があります。

序盤はかなりわかりやすく書かれています。古典制御と現代制御の基本的な部分はわかった気がします。

制御系設計

pythonで自分で動かせるという点で最もよかったのが設計の部分でした。教科書のグラフをサラッと見るよりわかった感がありました。

授業で使った教科書ではPID制御の理論をやったあとで、「なんで制御できるのかはわかったけど、kp,ki,kdの具体的な調べ方がわからん」と思ってたので、ゲインチューニングがコードと一緒に書いてあるのはかなり有り難かったです。

MATLABのようにマクローリン展開などが一瞬で出来ます。

(ここでちょっと思ったのが、MATLABのような有料ツールに近いことが無料で出来るのだから計算速度等が落ちているのではということ。実際のところはどうなのかは調べてません。)

個人的ハイライト:最適レギュレータ

p.176~状態空間モデルでのフィードバックゲインFを下のように与えます。

$$u=\textbf{Fx}$$

この F を"いい感じ"(雑)に選ぶ為に使われる手法の1つが最適レギュレータらしいです。

最適レギュレータでは、最適な値を求めるために、評価関数を最小にすることを考えます。

$$\textbf{Q}=\textbf{Q}^T>0,\textbf{R}=\textbf{R}^T>0$$

に対して評価関数

$$J=\int^\infty_0\textbf{x}(t)^T\textbf{Qx}(t)+u^T(t)\textbf{R}u(t)dt$$

を最小化するコントローラは

$$u=\textbf{F}_{opt}\textbf{x}$$

$$\textbf{F}_{opt}=\textbf{R}^{-1}\textbf{B}^T\textbf{P}$$

の形で得られます。ただし、

$$\textbf{P}=\textbf{P}^T>0$$

はリカッチ方程式

$$\textbf{A}^T\textbf{P}+\textbf{A}\textbf{P}+\textbf{P}\textbf{B}\textbf{R}^{-1}\textbf{B}\textbf{P}+\textbf{Q}=0$$

を満たす唯一の正定対象行列です。 なんでこうなるのかは詳しくは書いてませんが今後調べます。 また、Jの最小値は

$$\textbf{x}(0)^T\textbf{Px}(0)$$

です。

python上でMATLABの関数に似たものを使用できるpython_controlというものがあります。これで、一見難しそうな計算が一瞬の内に出来ます!!これはやばい。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline 
from control.matlab import *
# グラフの設定
def plot_set(fig_ax,*args):
    # x軸のラベルを1つ目を引数に
    fig_ax.set_xlabel(args[0])
    # y軸のラベルを2つ目を引数に
    fig_ax.set_ylabel(args[1])
    fig_ax.grid(ls=':')
    if len(args)==3:
        fig_ax.legend(loc=args[2])

A = [[0,1],[-4,-5]]
B = [[0],[1]]
C= np.eye(2)
D = np.zeros([2,1])
P= ss(A,B,C,D)#状態空間モデル
#最適レギュレータによるFの計算
Q = [[100,0],[0,1]]
R=1
X,E,F=care(P.A, P.B, Q, R)#フィードバックゲインF,リカッチ方程式の解X,閉ループ極Eを返す。
F=-F
#状態空間モデルでの応答
Acl = P.A+P.B*F
Pfb = ss(Acl, P.B, P.C, P.D)#状態空間モデル
Td = np.arange(0, 5, 0.01)#時間
Ud = 1*(Td>0)#時間Tdが正の範囲では1,負では0となるステップ信号。
X0 = [-0.3,0.4]#初期値
xst,t=step(Pfb,Td)#ステップ応答
xin,_=initial(Pfb,Td,X0)
x,_,_=lsim(Pfb,Ud,Td,X0)

fig, ax = plt.subplots(1,2,figsize=(6,2.3))
for i in [0,1]:
    ax[i].plot(t,x[:,i])
    ax[i].plot(t,xst[:,i], ls='-')
    ax[i].plot(t,xin[:,i], ls='-.')

plot_set(ax[0],'t','$x_1$')
plot_set(ax[1],'t','$x_2$')
plt.savefig('最適レギュレータによるフィードバック制御.png')
最適レギュレータのステップ応答。
( 青が応答、オレンジがゼロ状態応答、点線がゼロ入力応答。)

最適レギュレータの関数:

現代文明に感動しました。伝達関数モデルでのゲインチューニングの方法もすぐできて衝撃的でした。

次に読みたい

最後に参考文献としておすすめ本が載っているのもポイント高い。

解析力学キャンパス・ゼミ (馬場 敬之 (著), マセマ出版社)を読んだ感想です

解析力学キャンパス・ゼミ 馬場 敬之 (著), マセマ出版社

期間: 15日程度

特徴

単純な例を多く挙げつつきちんと導出や計算過程を書いてくれている

内容

  • 基礎事項
    • 回転行列
    • ラグランジュの運動方程式、ハミルトンの正準方程式を使用した練習問題
  • ラグランジュの運動方程式
    • オイラー角
    • オイラーの方程式
    • 変分原理
    • 仮想仕事とダランベールの原理
  • ハミルトンの正準方程式
    • 位相空間とトラジェクトリー
    • 正準変換
    • リウビルの定理
    • ポアソン括弧
    • 無限小変換

感想

事前知識:

力学の大学院授業を受講して何となく一般化座標のイメージが出来ていた。ラグランジュの運動方程式はわっぱりわかっていなかった。

全体

さすがマセマ。数学的に難しい部分をわかり安く説明していて、自分で導出できる。全体的にわかったような気がする(気がするというのは重要)。

練習問題はほぼなく、導出と例題がほとんど。

他の難しい顔した本を読む前に一回読むといいと思う。

ラグランジュの運動方程式

一般化座標で表記できるため、足が固定されていない移動ロボットの運動を考える上で重要。

ラグランジュの運動方程式:

$$ \frac{d}{dt}(\frac{\partial L}{\partial\dot q_i})-\frac{\partial L}{\partial q_i}= Q_i (i =1,2,..,f)$$

$$L=T-U$$

L:ラグランジアン

Q:非保存力による一般化力

f:自由度

q:一般化座標

一般化座標を用いて記述することで、ニュートンの運動方程式で考えなければならなかった外力や束縛力を無視して記述できる。これは素晴らしい!!

デカルト座標、極座標、球座標で考えた後、座標を一般化する。力学の記憶が定かではなくてもわかるように、自由度やコリオリの力など出てくる専門用語には必ず説明があった。

オイラー角がちょいイメージしにくかったが、他のどの本より丁寧に書いていたと思う。

かなり丁寧かつ簡単に書いている。最適降下線問題やサイクロイド曲線の問題程度までの難易度で、わかりやすい。

ハミルトンの正準方程式

ハミルトンの正準方程式:

$$ \frac{d q_i}{d t}=\frac{\partial H}{\partial p_i} $$ $$ \frac{d p_i}{d t}= - \frac{\partial H}{\partial q_i} $$

$$H=\Sigma ^f_{i=1}p_i \dot q_i - L$$

$$p_i=\frac{\partial L}{\partial \dot q_i} (i =1,2,..,f)$$

H:ハミルトニアン

q_i:一般化座標

p_i:一般化運動量

トラジェクトリー(位相空間内の代表点が描く軌跡みたいなもの)がイメージしにくく、大変だった。

個人的ハイライト

p164~ :単振動のトラジェクトリーは楕円形、という話から E=$h\nu$ ,光量子のエネルギーに触れたところが面白かった。計算量は増えるが、この考えから統計力学や量子力学に発展すると言うのが面白い。

関連

他のいろんな力学の本と合わせて読みたい。

次に読みたい

統計力学キャンパス・ゼミ馬場 敬之 (著) マセマ出版社

解析力学 細谷曉夫著 -やまなみ書房 <=無料で公開してくださっている神様ですありがとうございます!!!!

「[図解入門よくわかる最新モータ技術の基本とメカニズム] 秀和システム 井出 萬盛(著)」の感想です

タイトルそのまま、様々なモータの構造や基本原理が分かりやすく紹介されている本。

図解入門よくわかる最新モータ技術の基本とメカニズム 秀和システム 井出 萬盛(著)

期間: 9月2週目~3週目程度

特徴

トルクとは何か~モータの種類、実生活のモーターの用途まで、幅広くわかりやすく紹介しています。ただし、数式を扱う本ではありません。

内容

私の基準で大雑把にまとめ直しているのであしからず。

  1. 基本事項(トルク、ファラデーの法則、磁束、リラクタンストルク、電気子反作用、ギア)
  2. DCモータ(スロット、直巻き、分巻き、制御など)
  3. ACモータ: 誘導機(アラゴの円盤、すべり、制御、回転磁界、三相誘導モータ、単相誘導モータ、分相始動、コンデンサ始動)
  4. ACモータ: 同期機
  5. その他モータ(コアレスモータ、ヒステリシスモータ、超音波モータ、リニアモータ、ブラシレスモータ、ステッピングモータ、サーボ)
  6. 用途など(ミニ四駆、扇風機、エアコンなど)

感想

(参考)読む前まで:電気科で、交流電流の特性やDCモータ、三相誘導電動機などの基本原理や等価回路の知識がありました。 ただし、直巻き、分巻きなどの言葉は知っていましたが、実際にどんなものか分かっていませんでした。

全体

先日(2019年夏、学部4年で研究室歴半年程度)車メーカでEV用モータ関係のインターンをさせていただいた際、同期が研究対象にしているモータの話が全く分かりませんでした。磁石を使わないモータって何?というような、モータの種類を大まかに一通り知ることを目的に読みました。 図が適切でわかりやすい印象で満足です。

ただし、数式を扱う本ではないので、正確な関係式や制御に使うのは厳しいと思います。

1. 基本事項(トルク、ファラデーの法則、磁束、リラクタンストルク、電気子反作用、ギア)

基本事項です。ほぼ知ってる内容でしたが、リラクタンストルクやギアの種類などの知らなかった情報もありました。 こういう基本だけど調べないと分からない情報が、ちゃんとわかりやすく一定の文脈で説明されているのは書籍の利点ですね。

2. DCモータ(スロット、直巻き、分巻き、制御など)

DCモータの基本原理はわかっていましたが、製品の構造がわかりました。

3. ACモータ: 誘導機(アラゴの円盤、すべり、制御、回転磁界、三相誘導モータ、単相誘導モータ、分相始動、コンデンサ始動)

アラゴの円盤からスタートして誘導電動機の原理、動作、すべり、制御まで幅広く紹介しています。

三相誘導電動機の動作原理はわかっていましたが、配線がどうなっているのか疑問でした。この本でかなり解決しました。

同期モータと誘導モータ、名前は知っていたしなんとなく分かったつもりでいましたが、違いが明確になりました。ちゃんと読んでよかったです。

4. ACモータ: 同期機

同上。3,4が特にためになりました。

5. その他モータ(コアレスモータ、ヒステリシスモータ、超音波モータ、リニアモータ、ブラシレスモータ、ステッピングモータ、サーボ)

さらさらっと読めます。

6. 用途など(ミニ四駆、扇風機、エアコンなど)

ここもさらさらっと読めます。

次に読みたい

関連

この本と合わせて動画を見ると、電気の知識がなくても大丈夫ではないでしょうか。と思うのでわかりやすかった動画を紹介します。

※ 私とは何の関係もありません